【応用情報技術者試験】コンピュータ科学基礎理論を学ぼう！　　　　　~第2章~負数の表現

画像参照：https://frontiesta.com/plus-minus/

負の数を表す方法

2の補数は、主にコンピュータが2進数で負の数を表現する際に用いる手法であり、ある2進数の全ビットを反転（1の補数）させ、最後に1を加えたものです。この方式を使うと、加算器で引き算（減算）も行えるため、計算回路を簡素化できるメリットがあります。 

2の補数の計算方法

例えば「0010(2)」の2の補数を求める手順は以下の通りです。

1. ビットを反転（1の補数にする）：0010 → 1101$$
2. 1を加える：$$ 1101 + 1 =1110

結果：0010 の2の補数は 1110 (-2を表す)

特徴と役割

• 負の数表現: 最上位ビットが1の場合、負の数と解釈されます。
• 計算の自動化: A – B を A + (Bの2の補数) として計算できるため、減算専用の回路が不要になります。
• 定義: 元の数と足し合わせた時に、桁あふれ（キャリー）を除いて結果が0になる数です。
• 補数計算: 1の補数に1を加えることでも求まります。 

この手法により、ハードウェア側で「加算」と「符号反転」の機能を組み合わせるだけで、効率的に数値演算が行われています。

10進数値への変換

負の数の2の補数を10進数に変換する場合は、そのまま計算してはいけません。
まずは、表の姿に戻す必要があります。基本的には、2の補数を作る時と逆の手順を踏んで、最後に-（マイナス）をつけます。

例：1110の場合

１. ビットを反転：0001
２. １を加える：0010
３. 10進数に戻す：2
４. -（マイナス）をつける：-2

2の補数での表現範囲

2の補数表現（nビット）の表現範囲は、-2^n-1から2^n-1-1までです。符号ビット（最上位桁）が1の場合は負、0の場合は正を表します。また、正の数より負の数が1つ多い（-128〜127）という特性があり、0は1種類（全ビット0）に統合されます。

2の補数表現範囲（ビット数別）

ビット数	表現範囲
4	-8 〜 7（-23 〜 23-1）
8	-128 〜 127（-27 〜 27-1）
16	-327568 〜 32767（-215 〜 215-1）
n	-2n-1 〜 2n-1-1

特徴と注意点

• 符号ビット: 最上位桁が1なら負、0なら正。
• 負の数の方が広い: 最小値（$$-2^n-1）の絶対値は、最大値（$$2^n-1-1）よりも1大きい。
• オーバーフロー: 範囲外の計算結果は正しく表現できない（例: 8ビットで-128-1$$）。